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精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學 > 題目詳情

如圖△ABC所在平面中，找到距三邊所在直線距離相等的點．

【答案】分析：分別作出△ABC中∠A與∠B的平分線，兩角平分線的交點即為到三邊所在直線距離相等的點．
解答：解：（1）以B為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交AB、BC于D、E兩點，
（2）再分別以D、E為圓心，以大于

DE為半徑畫圓，兩圓相交于F，連接BF，則BF即為∠B的平分線；
同理作∠A的平分線，兩平分線相交于點G₁，則點G₁即為所求；
同理作出△ABC相鄰外角的平分線分別交于G₁，G₂，G₃，
綜上，滿足題意的點有四個，如圖所示：

點評：本題考查的是角平分線的性質，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

探究問題：
（1）閱讀理解：
①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離；
②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此為托勒密定理；

（2）知識遷移：
①請你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的

上任意一點．求證：PB+PC=PA；
②根據(jù)（2）①的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

上任取一點P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+

；
第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段

的長度即為△ABC的費馬距離．

（3）知識應用：
2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．
已知三村莊A、B、C構成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．