Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ是直角三角形？

（3）是否存在某一時(shí)刻，使得PQ分△ACD的面積為1：11？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）t為3秒或秒；（3）當(dāng)，時(shí)使得PQ分△ACD的面積為1：11．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，進(jìn)利用面積法求出CD；

（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進(jìn)而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△CEQ∽△CDA，得出，進(jìn)而表示出QE＝t，再分當(dāng)S△CPQ＝S△ACD時(shí)，和當(dāng)S△CPD＝S△ACD時(shí)，利用面積建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴CD＝，

（2）由（1）知，CD＝，

由運(yùn)動(dòng)知，CQ＝t，DP＝t，

∴CP＝CDDP＝t，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵△CPQ與△ABC相似，

①當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)，△CPQ∽△BCA，

∴，

∴

∴t＝3

②當(dāng)∠CQP＝90°時(shí)，△CPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴t＝，

即：t為3秒或秒時(shí)，△CPQ與△ABC相似．

（3）假設(shè)存在，如圖，

Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得，AD＝，

過點(diǎn)Q作CE⊥CD于E，

∴QE∥AD，

∴△CEQ∽△CDA，

∴，

∴

∴QE＝

∵S△CPQ＝CPQE＝（）

∴S△ACD＝ADCD＝××，

∵PQ分△ACD的面積為1：11，

∴①當(dāng)S△CPQ＝S△ACD時(shí)，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋16＝0，

∴＝或4．

②當(dāng)S△CPD＝S△ACD時(shí)，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋176＝0，而△2424×5×176＝5763520＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

綜上所述，當(dāng)t＝或4時(shí)，PQ分△ACD的面積為1：11．