Question

8．直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），以點(diǎn)A為圓心畫圓，點(diǎn)M（4，4）在⊙A上，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b過點(diǎn)M，分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)．
（1）填空：⊙A的半徑為5，b=7．（不需寫解答過程）
（2）判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）點(diǎn)D是線段OC上的一點(diǎn)，連接MA、MD并延長(zhǎng)交⊙A于E、F，若AE⊥AF，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，如圖1，由M（4，4）得到OQ=4，MQ=4，則AQ=3，則在Rt△AMQ中利用勾股定理可計(jì)算出AM=5；然后把M點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-$\frac{3}{4}$x+b中可計(jì)算出b的值；
（2）先確定B（$\frac{28}{3}$，0）則AB=OB-OA=$\frac{25}{3}$，再通過計(jì)算得到$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AM}$，加上∠MAB=∠QAM，則根據(jù)相似三角形的判定可判斷△ABM∽△AMQ，所以∠AMB=∠AQM=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷直線BC是⊙A的切線；
（3）如圖2，由AE⊥AF，BC⊥AM得到AF∥BC，利用兩直線平行的問題可設(shè)直線AF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+t，則把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得t=$\frac{3}{4}$，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)F（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到（a-1）²+（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$）²=25，解方程得a=-3或a=5（舍去），則F（-3，3），然后利用待定系數(shù)法求出直線MF的解析式為y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$，最后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，如圖1，
∵M(jìn)（4，4），
∴OQ=4，MQ=4，
∴AQ=4-1=3，
在Rt△AMQ中，AM=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
即⊙A的半徑為5；
∵M(jìn)（4，4）在直線y=-$\frac{3}{4}$x+b上，
∴-3+b=4，
∴b=7．
故答案為5，7；
（2）直線BC與⊙A相切，理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{4}$x+7=0，解得x=$\frac{28}{3}$，則B（$\frac{28}{3}$，0）
∴AB=OB-OA=$\frac{28}{3}$-1=$\frac{25}{3}$，
而AQ=3，MQ=4，
∴$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{\frac{25}{3}}{5}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AM}$，
而∠MAB=∠QAM，
∴△ABM∽△AMQ，
∴∠AMB=∠AQM=90°，
∴AM⊥BC，
∴直線BC是⊙A的切線；
（3）如圖2，
∵AE⊥AF，
而BC⊥AM，
∴AF∥BC，
設(shè)直線AF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+t，
把A（1，0）代入得-$\frac{3}{4}$+t=0，解得t=$\frac{3}{4}$，
設(shè)F（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$），
∵FA=5，
∴（a-1）²+（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$）²=25，
整理得（a-1）²=16，解得a=-3或a=5（舍去），
∴F（-3，3），
設(shè)直線MF的解析式為y=px+q，
把M（4，4），F(xiàn)（-3，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4p+q=4}\\{-3p+q=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{7}}\\{q=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴直線MF的解析式為y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$=$\frac{24}{7}$，
∴D（0，$\frac{24}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)、切線的判定定理和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．