(2009•普陀區(qū)一模)如圖,AB=16cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊一直移動(dòng)到點(diǎn)A為止.
(1)寫出AP的長(zhǎng)y1和AQ的長(zhǎng)y2關(guān)于時(shí)間t的函數(shù);
(2)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后,△APQ與△ABC相似?
(3)在整個(gè)過(guò)程中,是否存在使△APQ的面積恰好為△ABC面積一半的情況?若存在,請(qǐng)問(wèn)此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)本題可結(jié)合三角形的周長(zhǎng),根據(jù)路程=速度×時(shí)間求出AP的長(zhǎng)y1和AQ的長(zhǎng)y2關(guān)于時(shí)間t的函數(shù);
(2)分0≤t≤6,6≤t≤16兩種情況,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所用的時(shí)間;
(3)當(dāng)0≤t≤6時(shí),過(guò)點(diǎn)P、C分別作AB的垂線,垂足為D、E,根據(jù)△APQ的面積恰好為△ABC面積一半,,求出所用的時(shí)間;當(dāng)6≤t≤16時(shí),點(diǎn)P與C重合,即,根據(jù)△AQC的面積恰好為△ABC面積一半,求出所用的時(shí)間.
解答:解:(1)由題意得:y1=2t(0≤t≤6),y2=16-t(0≤t≤16).(4分)

(2)當(dāng)0≤t≤6時(shí),
①若QP∥BC,則有△AQP∽△ABC.

∵AB=16cm,AC=12cm,AP=2t,AQ=16-t,

解得:(2分)
②∵∠A=∠A,若∠AQP=∠C,
則有△AQP∽△ACB


解得:t=6.4、(不符合題意,舍去)(1分)
當(dāng)6≤t≤16時(shí),點(diǎn)P與C重合
∵∠A=∠A,只有當(dāng)∠AQC=∠ACB時(shí),有△AQC∽△ACB,

,
解得:t=7 (1分)
綜上所述:
在0≤t≤6中,當(dāng)時(shí),△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中,當(dāng)t=7時(shí),△AQC∽△ACB (1分)

(3)當(dāng)0≤t≤6時(shí),過(guò)點(diǎn)P、C分別作AB的垂線,垂足為D、E,
∴PD=APsin∠A,CE=ACsin∠A.
如果△APQ的面積恰好為△ABC面積一半,
那么,

得:t2-16t+48=0,
解得:t=4或者t=12(舍去)(2分).
當(dāng)6≤t≤16時(shí),點(diǎn)P與C重合,
,
如果△AQC的面積恰好為△ABC面積一半,
那么,
解得:t=8 (1分).
綜上所述:
在0≤t≤6中,當(dāng)t=4時(shí),△APQ的面積恰好為△ABC面積一半;
在6≤t≤16中,當(dāng)t=8時(shí),△AQC的面積恰好為△ABC面積一半.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了路程問(wèn)題,三角形的面積比的計(jì)算,相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,要注意的是(2)(3)中,要根據(jù)P點(diǎn)、Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解.
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求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)圖象經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式和這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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