Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為B，直線y=kx-6k經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且tan∠BAO=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，其橫坐標(biāo)為t，連接OP，交對稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交直線AB于點(diǎn)D，連接PD，設(shè)線段PD的長為d，求d與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E在線段BC上，連接EP，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作GQ∥x軸，交PE的延長線于點(diǎn)Q，當(dāng)∠OPQ=2∠AOP，且EF=PF時(shí)，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，并判斷此時(shí)點(diǎn)Q是否在（1）中的拋物線上．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BC⊥OA垂足為C．令y=0可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可得到AC=3，然后依據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義可得到BC的長，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得a、b的值，于是可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線AB的解析式，設(shè)P的坐標(biāo)為（t，-t²+6t），可求得直線OP的解析式為y=（-t+6）x，接下來，求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3t+18．接下來將點(diǎn)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入直線AB的解析式可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)P點(diǎn)和D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可至PD的長等于P、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差；
（3）延長PQ交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PM∥x軸．先證明∠PMH=∠PMO，于是可證明△PHM≌△POM，由全等三角形的性質(zhì)可得到HM=OM，設(shè)P（a，-a²+6a），則H（0，-2a²+12a）．接下來，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得F的坐標(biāo)（用含a的式子表示），將F的坐標(biāo)代入直線AB的解析式可求得a的值，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)、PH的解析式、點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入PH的解析式可求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，于是可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可作出判斷．

解答 解：（1）如圖1所示：過點(diǎn)B作BC⊥OA垂足為C．

令y=0得：kx-6k=0，
∵k≠0，
∴x=6．
∴A（6，0）．
∵拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（6，0）且B為拋物線的頂點(diǎn)，
∴AC=3．
∵tan∠BAO=3，
∴BC=9．
∴B（3，9）．
∵將B（3，9）、A（6，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=9}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得：b=6，a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x．
（2）如圖2所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=9}\end{array}\right.$，解得：b=18，k=-3，
∴直線AB的解析式為y=-3x+18．
設(shè)P的坐標(biāo)為（t，-t²+6t），OP的解析式為y=kx．
∵將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：tk=-t²+6t，解得：k=-t+6，
∴OP的解析式為y=（-t+6）x．
∵將x=3代入OP得解析式得：y=-3t+18，
∴C（3，-3t+18）．
∵CD∥x軸，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3t+18．
∵將y=-3t+18代入直線AB的解析式得：-3t+18=-3x+18，
∴x=t．
∴D（t，-3t+18）．
∴d=-t²+6t-（-3t+18）=-t²+9t-18．
如圖3所示：延長PQ交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PM∥x軸．

∵PM∥x軸，
∴∠MPO=∠AOP．
∵∠OPQ=2∠AOP，
∴∠HPM=∠OPM．
又∵PM⊥y軸，
∴∠PMH=∠PMO．
在△PHM和△POM中$\left\{\begin{array}{l}{∠HPM=∠OPM}\\{PM=PM}\\{∠PMH=∠PMO}\end{array}\right.$，
∴△PHM≌△POM．
∴HM=OM．
設(shè)P（a，-a²+6a），則H（0，-2a²+12a）．設(shè)PH的解析式為y=kx-2a²+12a．
∵將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：ka-2a²+12a=-a²+6a，解得：k=a-6，
∴直線PH的解析式為y=（a-6）x-2a²+12a．
∵將x=3代入PH得解析式得y=-2a²+15a-18，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-2a²+15a-18．
∵F是EP的中點(diǎn)，
∴F_y=$\frac{-2{a}^{2}+15a-18-{a}^{2}+6a}{2}$=-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9，F(xiàn)_x=$\frac{3+a}{2}$．
∵將F_x=$\frac{3+a}{2}$代入AB的解析式得：F_y=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，
∴-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，整理得：a²-8a+15=0，解得a=5或a=3（舍去）．
∵當(dāng)a=5時(shí)，-a²+6a=-25+30=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5）．
∵a=5，
∴直線PH的解析式得y=-x+10．
∵將a=5代入-2a²+15a-18得：-2a²+15a-18=-2×25+15×5-18=7，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，7）．
∵點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，8）．
∵QG∥x軸，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為8．
∵將y=8代入y=-x+10得：-x+10=8，解得：x=2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）．
∵將x=2代入y=-x²+6x得：y=-4+12=8，
∴Q是在（1）中的拋物線上．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、全等三角形的性質(zhì)和判定，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用含a的式子表示相關(guān)直線的解析式、以及點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．