Question

【題目】如圖，在正方形中，是邊上的一點(diǎn)，，，將正方形邊沿折疊到，延長交于．連接，現(xiàn)在有如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③∥；④; 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2

C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正確．證明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，結(jié)合∠EAB＝∠EAF可得結(jié)果．

②錯(cuò)誤．可以證明DG＝GC＝FG，顯然△GFC不是等邊三角形，可得結(jié)論．

③正確．證明CF⊥DF，AG⊥DF即可．

④錯(cuò)誤．證明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面積即可．

解：如圖，連接DF．

∵四邊形ABC都是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，

由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，

∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，

∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），

∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，設(shè)GD＝GF＝x，

∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正確，

在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2，

∴（4＋x）2＝82＋（12x）2，

∴x＝6，

∵CD＝BC＝BE＋EC＝12，

∴DG＝CG＝6，

∴FG＝GC，

易知△GFC不是等邊三角形，顯然FG≠FC，故②錯(cuò)誤，

∵GF＝GD＝GC，

∴∠DFC＝90°，

∴CF⊥DF，

∵AD＝AF，GD＝GF，

∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正確，

∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，

∴FG：EG＝3：5，

∴S△GFC＝×24＝，故④錯(cuò)誤，

故選B．