Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E，且=．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結(jié)OC，由，根據(jù)圓周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，則∠2=∠OCA，則可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；

（2）連結(jié)BE交OC于F，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根據(jù)正切的定義得AC=4，再利用勾股定理計算出AB=5，然后證明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先計算出AD=，再計算出CD=；根據(jù)垂徑定理的推論由得OC⊥BE，BF=EF，于是可判斷四邊形DEFC為矩形，所以EF=CD=，則BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理計算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．

解：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵，

∴∠1=∠2，

∵OC=OA，

∴∠1=∠OCA，

∴∠2=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)BE交OC于F，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，tan∠CAB=，

而BC=3，

∴AC=4，

∴AB=，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴，即，解得，

∵，即，解得，

∵，

∴OC⊥BE，BF=EF，

∴四邊形DEFC為矩形，

∴，

∴，

∵AB為直徑，

∴∠BEA=90°，

在Rt△ABE中，，

∴．