Question

【題目】如圖所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為ts．

（1）則BC＝　 　cm；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上？此時(shí)CQ＝　 　；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）BC＝12cm；（2）t＝，CQ＝13cm；（3）當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）由勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）可得PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，則122+（16﹣t）2＝t2，解出t＝．可求出CQ；

（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，

∴BC＝＝＝12（cm）．

故答案為：12；

（2）如圖，

∵點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，

∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，

在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2，

解得：t＝．

此時(shí)，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ＝（cm）；

故答案為：13cm．

（3）①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，如圖1所示，

則∠C＝∠CBQ，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．

∠A+∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，

∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10，

∴BC+CQ＝22，

∴2t=22，

∴t＝22÷2＝11秒．

②當(dāng)CQ＝BC時(shí)，如圖2所示，

則BC+CQ＝24，

∴2t=24，

∴t＝24÷2＝12秒．

③當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖3所示，

過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

∴，

∴＝．

∴CQ＝2CE＝14.4，

∴BC+CQ＝26.4，

∴2t=26.4，

∴t＝26.4÷2＝13.2秒．

綜上所述：當(dāng)t為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．