Question

【題目】（題文）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個(gè)動點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為________________(提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)．

Answer 1

【答案】

【解析】利用分類討論，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．

當(dāng)∠ABP=90°時(shí)（如圖2）．

∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，

當(dāng)∠APB=90°時(shí)，分兩種情況討論：

情況一：（如圖1）．

∵AO=BO，∴PO=BO．

∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形．

∵AB=BC=4，∴AP=ABsin60°=4×=2；

情況二：如圖3．

∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO．

∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=2．

故答案為：2或2或2．