Question

【題目】已知：菱形 ABCD，點(diǎn) E 在線段 BC 上，連接 DE，點(diǎn) F 在線段 AB 上，連接 CF、DF， CF 與 DE 交于點(diǎn) G，將菱形 ABCD 沿 DF 翻折，點(diǎn) A 恰好落在點(diǎn) G 上．

（1）求證：CD=CF；

（2）設(shè)∠CED= x，∠DCF= y，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，當(dāng) x=45°時(shí)，以 CD 為底邊作等腰△CDK，頂角頂點(diǎn) K 在菱形 ABCD的內(nèi)部，連接 GK，若 GK∥CD，CD=4 時(shí)，求線段 KG 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=；（2）

【解析】

（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得△DFG≌△DFA，從而推導(dǎo)得出∠FDC=∠DFG，進(jìn)而得到CF=DC；

（2）在等腰△DGC和等腰△CFD中，可用y表示出∠GDC、∠FDC的值，從而求出∠ADF，根據(jù)∠ADE=∠DEC，得出y與x的關(guān)系式；

（3）先證△KCD是等腰直角三角形，根據(jù)CD的長得到KC的值，然后再△KGC中求得KG的值.

（1）∵將菱形ABCD沿DF翻折，點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)G上

∴△DFG≌△DFA，∠AFD=∠FDC

∴∠AFD=∠DFG

∴∠FDC=∠DFG

∴CF=DC；

（2）∵AD=DG=DC=FC，∠DCF=y

∴在△DGC中，∠DGC=y，∠GDC=180－2y

在△CFD中，∠CFD=∠CDF=

∴∠FDG=∠FDC－∠GDC=

∴∠ADF=∠FDG=，∴∠ADE=3y－180

∵AD∥BC

∴∠ADE=∠DEC，即3y－180=x

化簡得：y=；

（3）如下圖，過點(diǎn)K作CD的垂線，交CD于點(diǎn)I，延長KG交BC于點(diǎn)L，過點(diǎn)C作GL的垂線，交GL于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作GD的垂線，交GD于點(diǎn)N，

∵x=45°，

∴y=75°，∠ADE=x=45°

∴∠DGC=∠DCG=75°，

∴∠NDC=30°，

∴∠ADC=45°+30°=75°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=75°，

∵KG∥DC，

∴KG∥AB，∠KGD=∠NDC=30°，

∴∠GLC=∠B=75°，∠KGC=30°+75°=105°，

∴∠LGC=75°，

∴∠CGL=∠CGN，

∴GC是∠LGN的角平分線，

∴CQ=CN，

∵CD=4，∠CDE=30°，

∴在Rt△CND中，CN=2，

∴CQ=2，

∵KG∥CD，

∴∠QKI=∠KIC=90°

∵CQ⊥KL

∴四邊形CQKI是矩形，

∵CK=KD，KI⊥CD，

∴CI=ID=2，

∴CI=CQ=2，

∴矩形CQKI是正方形

∴IK=CQ=2，

∴在Rt△KIC中，CK=，

如下圖，過點(diǎn)G作CK的垂線，交CK于點(diǎn)M，

∴△KGM是等腰直角三角形，△GMC是直角三角形，且∠C=30°，

設(shè)GM=x，

則在Rt△GKM中，KM=GM=x，

在Rt△GMC中，CG=2x，MC=x，

∴KC=x+x=，

解得：x=，

∴KG=.