Question

【題目】如圖，矩形中，，，平分，交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．則以下結(jié)論：①；②；③；④，⑤,其中正確的結(jié)論有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

過點(diǎn)F作FH⊥AC，由角平分線的性質(zhì)得到HF=DF，延長CE與AD的延長線交于點(diǎn)M，

又AF平分∠CAD，AF⊥CE，由“三線合一”逆定理，得到AC=AM，CE=EM.再設(shè)HF=DF=x,由等積法得到，從而求出關(guān)鍵的DF的值.利用勾股定理得到AC=AH=, 有DM=，，所以CE=，而后找到圖中常見的相識(shí)三角形并利用其性質(zhì)逐一推理計(jì)算判斷即可.

解：∵∠CEF=∠CEA=90°，∠CAE=∠EAD=∠FCE,

∴；

故① 對；

若成立，則易知∠BAC=∠EAC=∠FAD=30°,則在中BC=AB，而BC=2，AB=4，BC=AB，故假設(shè)不成立. ②不對；

過點(diǎn)F作FH⊥AC，∵AF平分∠CAD，AD⊥DF，∴HF=DF=x，則CF=4-x，

又∵ ,

∵，

∴

解得

∴, ∴，故④對；

又∵，

延長CE與AD的延長線交于點(diǎn)M，

∵AF平分∠CAD，AF⊥CE，

∴AC=AM=，CE=EM=,

∴DM=，又∵

∴

∴，故③對；

∵∠CGE=∠ADF=90°，∠ECG=∠DAF，

∴,

∴ ,

∴，

∴CG=DG=2,

又∵∠FEC=90°，GE⊥CF，

∴∽,

∴,

∴ ,又∵CG=DG，

∴ ∴⑤對；

綜上有4個(gè)正確，

故選：D.