Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，交y軸于點(diǎn)C；

（1）求拋物線的解析式(用一般式表示)；

（2）點(diǎn)D為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使S△ABC=S△ABD?若存在，請求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）將直線BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于另一點(diǎn)E，求BE的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，D（1，）或（2，）或（5，）（3）BE=

【解析】

（1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由條件可求得點(diǎn)D到x軸的距離，即可求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由條件可證得BC⊥AC，設(shè)直線AC和BE交于點(diǎn)F，過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，則可得BF=BC，利用平行線分線段成比例可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BE解析式，聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得BE的長．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），

∴，解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）由題意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，

∵S△ABC=S△ABD，

∴S△ABD=，

設(shè)D（x，y），

∴，

解得：；

當(dāng)時，，

解得：或，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）或（2，3）；

當(dāng)時，，

解得：或（舍去），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（5，-3）；

綜合上述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴,，

∴，

∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，

如圖，設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)F，過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，

由題意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，即，

解得：，

∴點(diǎn)F為（2，6），且B為（4，0），

設(shè)直線BE解析式為y=kx+m，則

，解得，

∴直線BE解析式為：；

聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可得：

，

解得：或，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為：，

∴.