Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常數(shù)）

（1）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為B、D，點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)為 C．

①若點(diǎn)P為△ABD的外心，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

②當(dāng)|m|≤，m≠0時(shí)，△ABC的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①P(m，-1)；②有最大值；當(dāng)m＝時(shí)，S△ABC最大＝3．

【解析】

（1）令y＝0，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，計(jì)算判別式，可得判別式的值大于0，即可得出結(jié)論；

（2）①先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出外接圓的半徑，即可得出結(jié)論；②先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，分兩種情況：（i）當(dāng)0<m≤時(shí)，如圖2，（ii）當(dāng)-≤m<0時(shí)，如圖3，分別得出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

（1）令y＝0，則0＝x2﹣2mx+m2﹣3，

∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，

∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即：無論m取什么實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）①如圖1，

∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝（x﹣m）2﹣3，

∴A(m，﹣3)，設(shè)點(diǎn)D(x1，0)，B(x2，0)，

∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣3，

∴BD＝x2﹣x1＝＝＝2，

過點(diǎn)A作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)E，則AE⊥x軸，

∴∠AEB＝90°，

∵點(diǎn)A(m，﹣3)是拋物線的頂點(diǎn)，

∴AE＝3，BE＝BD＝，

∴P為△ABD的外心，

∴點(diǎn)P在AE上，

連接BP，

設(shè)△ABD的外接圓的半徑為r，則AP＝BP＝r，

∴PE＝AE﹣r＝3﹣r，

∵在Rt△BEP中， PE2+BE2＝BP2，

∴（3﹣r）2+（）2＝r2，

∴r＝2，

∴PE＝AE﹣AP＝1，

∴P(m，-1)；

②令y＝0，則x2﹣2mx+m2﹣3＝0，

∴x＝，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，

∴B(m+，0)，D(m-，0)，

令x＝0，則y＝m2﹣3，

∴C(0，m2﹣3)，

分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)0<m≤時(shí)，如圖2，

S△ABC=S梯形OCAE+S△ABES△OCB

= OE(OC+AE)+ AEBEOCOB

=m(3m2+3)+ ×3×(m+m) (3m2)(m+)

=m2+m

=（m +）2﹣，

∵>0，

∴當(dāng)0<m≤時(shí)，S△ABC隨m的增大而增大，

∴當(dāng)m=時(shí)，S△ABC取得最大值，最大值為3；

（ii）當(dāng)-≤m<0時(shí)，如圖3，

S△ABC=S梯形EACO+S△OCBS△ABE

=OE(OC+AE)+ OCOBAEBE

=m(3m2+3)+ (3m2)(m+) (m+m)(3m2)

=m，

∵<0，

∴當(dāng)-≤m<0時(shí)，S△ABC隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m=-時(shí)，S△ABC取得最大值，最大值為．

∵3＞，

∴當(dāng)m=時(shí)，△ABC的面積取得最大值，最大值為3．