Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線DE與⊙O相切，理由如下：
連接OD，

∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直線DE與⊙O相切
（2）解：連接OE，

設(shè)DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
則DE=4.75
【解析】（1）連接OD，利用垂直平分線的性質(zhì)得到EB=ED，再利用等邊對等角的性質(zhì)得到∠B=∠EDB，∠A=∠ODA，然后利用等量代換得到OD⊥DE.
（2）設(shè)DE=x，在直角三角形OCE中列勾股定理方程，其中OE的長度的平方利用OE2=OD2+DE2替代，從而可以列出關(guān)于x的等式.