Question

如圖，已知：直線y=﹣x+1與坐標軸交于A，B兩點，矩形ABCD對稱中心為M，雙曲線y=（x＞0）正好經過C，M兩點，則k=　　　　　　．

　

Answer 1

　4　．

 

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】根據一次函數的解析式y=﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA=3，OB=1，過C作CE⊥y軸于E，由四邊形ABCD是矩形，得到∠CBA=90°，推出△BCE∽△ABO，得到比例式=，設OC=x，則BE=3x，C（x，3x+1），由于矩形ABCD對稱中心為M，得到M（x+，），根據反比例函數圖象上點的坐標特征列方程x（3x+1）=（x+）（），解得x=1，求得C（1，4），即可得到結果．

【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，x=3，

∴A（3，0），B（0，1），

∴OA=3，OB=1，

過C作CE⊥y軸于E，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠CBA=90°，

∴∠CBE+∠OBA=∠OBA+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

∵∠BEC=∠AOB=90°，

∴△BCE∽△ABO，

∴=，

設OC=x，則BE=3x，

∴C（x，3x+1），

∵矩形ABCD對稱中心為M，

∴M（x+，），

∵雙曲線y=（x＞0）正好經過C，M兩點，

∴x（3x+1）=（x+）（），

解得：x=1，

∴C（1，4），

∴k=1×4=4，

故答案為：4．

【點評】本題考查了矩形的性質，求直線與坐標軸的交點，相似三角形的判定和性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．