Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，AD⊥PC，垂足為D，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接AE．

（1）求證：∠CAB=∠CAD；

（2）求證：PC=PF；

（3）若tan∠ABC=，AE=5，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）12.

【解析】

（1）由切線得：OC⊥PC，再得平行，由同圓的半徑相等：OA=OC，根據等邊對等角可得結論；

（2）證明∠PFC=∠PCF，根據等角對等邊可得結論；

（3）根據三角函數的比設未知數，利用勾股定理列方程可得結論．

（1）證明：∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）證明：∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴，

∴∠ABE=∠ECB，

∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°，

∴∠BCP=∠BAC，

∵∠BAC=∠BEC，

∴∠BCP=∠BEC，

∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，

∠PCF=∠ECB+∠BCP，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF；

（3）解：∵，

∴AE=BE=5，

又∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

AB=BE=10，

∴OB=OC=5，

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴，

∵tan∠ABC=，

∴，

設PB=2x，則PC=3x，

在Rt△POC中，（2x+5）2=（3x）2+52，

解得x1=0（舍），x2=4，

∵x＞0，

∴x=4，

∴PC=3x=3×4=12．