【題目】(1)△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形,如圖1,其中∠ACB=∠DCE=90°,連結AD、BE,求證:△ACD≌△BCE.
(2)△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,CD<AC,△CDE從邊CD與AC重合開始繞點C逆時針旋轉一定角度α(0°<α<180°);
①如圖2,DE與BC交于點F,與AB交于點G,連結AD,若四邊形ADEC為平行四邊形,求的值;
②若AB=10,DE=8,連結BD、BE,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,求BE的長.
【答案】(1)見解析;(2)① ;②BE的長為﹣2+或.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質得出AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,證出∠ACD=∠BCE,由SAS得出△ACD≌△BCE即可;
(2)①連接CG,由平行四邊形的性質得出∠ADE+∠CED=180°,證出∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=90°,A、D、G、C四點共圓,由圓周角定理得出∠AGC=∠ADC=90°,由直角三角形的性質得出CG= AC,AG= CG,CG=BG,即可得出結果;
②分三種情況:
當∠BED=90°時,證明△ACD∽△BCE,得出=,得出AD=BE,證出A、D、E共線,在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
當∠DBE=90°時,作CF⊥AB于F,由勾股定理得出DF=,得出AD=,即可得出BE的長;
當∠BDE=90°時,作BG⊥CD于G,設DG=x,則CG=4﹣x,BG=x,在Rt△BCG中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)證明:∵△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中, ,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)解:①連接CG,如圖2所示:
∵四邊形ADEC為平行四邊形,
∴AD∥CE,
∴∠ADE+∠CED=180°,
∵∠CED=90°﹣∠CDE=90°﹣30°=60°,
∴∠ADE=120°,
∴∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=90°,
∵∠CAB=∠CDE=30°,
∴A、D、G、C四點共圓,
∴∠AGC=∠ADC=90°,
∵∠CAB=30°,
∴CG=AC,AG=CG,∠BCG=30°,
∴CG=BG,即BG= CG,
∴ =3;
②分三種情況:
當∠BED=90°時,如圖3所示:
∵△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴∠ACD=∠BCE,,
∴△ACD∽△BCE,
∴=,
∴AD=BE,
∴∠ADC=∠BEC=90°+∠CED=90°+60°=150°,
∵∠CDE=30°,
∴∠CDE+∠ADC=180°,
∴A、D、E共線,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE2+BE2=AB2,
即(BE+8)2+BE2=102,
解得:BE=﹣2± (負值舍去),
∴BE=﹣2+;
當∠DBE=90°時,如圖4所示:
作CF⊥AB于F,則∠BCF=30°,
∴BF=BC,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
∴BC=AB=5,CEDE=4,
∴CD=CE=4,
∴BF=BC=,
∴CF=BF= ,
∴DF=,
∵AB=AD+DF+BF,
∴AD=10﹣,
∴BE=;
當∠BDE=90°時,如圖5所示:
作BG⊥CD于G,
則∠BDG=∠BDE﹣∠CDE=60°,
∴∠DBG=30°,
∴BD=2DG,BG=DG,
設DG=x,則CG=4﹣x,BG=x,
在Rt△BCG中,由勾股定理得:CG2+BG2=BC2,
即(4﹣x)2+(x)2=52,
整理得:4xx+23=0,
∵△=(﹣8)2﹣4×4×23<0,
∴此方程無解;
綜上所述,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,BE的長為﹣2+ 或.
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A.B.2C.3D.4
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【題目】在國家政策的宏觀調控下,某市的商品房成交均價由今年3月份的14 000元/m2下降到5月份的12 600元/m2.
(1)問4,5兩月平均每月降價的百分率約是多少?(參考數(shù)據(jù):≈0.95)
(2)如果房價繼續(xù)跌落,按此降價的百分率,你預測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌跛10 000元/m2?請說明理由.
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B.隨、的運動位置而變化,且最小值為2
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【題目】已知一個口袋中裝有六個完全相同的小球,小球上分別標有1,2,5,7,8,13六個數(shù),攪勻后一次從中摸出一個小球,將小球上的數(shù)記為m,則使得一次函數(shù)y=(﹣m+1)x+11﹣m經(jīng)過一、二、四象限且關于x的分式方程=3x+的解為整數(shù)的概率是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,△ABC三個頂點坐標分別為A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).
(1)將△ABC繞著O順時針旋轉90°得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并寫出A1的坐標;
(2)以原點O為位似中心,在第一象限畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2,相似比為1:2,并寫出A2的坐標.
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(1)試探究線段BD 與線段MF的數(shù)量關系和位置關系,并說明理由;
(2)把△BCD 與△MEF 剪去,將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1,邊AD1交FM 于點K(如圖2),設旋轉角為β(0°<β<90°),當△AFK 為等腰三角形時,求β的度數(shù);
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