【題目】1)△ABC和△CDE是兩個等腰直角三角形,如圖1,其中∠ACB=∠DCE90°,連結AD、BE,求證:△ACD≌△BCE

2)△ABC和△CDE是兩個含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE30°,CDAC,△CDE從邊CDAC重合開始繞點C逆時針旋轉一定角度α0°<α180°);

①如圖2,DEBC交于點F,與AB交于點G,連結AD,若四邊形ADEC為平行四邊形,求的值;

②若AB10DE8,連結BDBE,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,求BE的長.

【答案】1)見解析;(2)① ;②BE的長為﹣2+

【解析】

1)由等腰直角三角形的性質得出ACBC,CDCE,∠ACB=∠DCE,證出∠ACD=∠BCE,由SAS得出ACD≌△BCE即可;

2)①連接CG,由平行四邊形的性質得出∠ADE+CED180°,證出∠ADC=∠ADE﹣∠CDE90°,A、D、GC四點共圓,由圓周角定理得出∠AGC=∠ADC90°,由直角三角形的性質得出CG AC,AG CGCGBG,即可得出結果;

②分三種情況:

當∠BED90°時,證明ACD∽△BCE,得出,得出ADBE,證出AD、E共線,在RtABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;

當∠DBE90°時,作CFABF,由勾股定理得出DF,得出AD,即可得出BE的長;

當∠BDE90°時,作BGCDG,設DGx,則CG4x,BGx,在RtBCG中,由勾股定理得出方程,解方程即可.

1)證明:∵△ABCCDE是兩個等腰直角三角形,

ACBCCDCE,∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD=∠BCE,

ACDBCE中, ,

∴△ACD≌△BCESAS);

2)解:①連接CG,如圖2所示:

∵四邊形ADEC為平行四邊形,

ADCE

∴∠ADE+CED180°,

∵∠CED90°﹣∠CDE90°30°60°,

∴∠ADE120°

∴∠ADC=∠ADE﹣∠CDE90°,

∵∠CAB=∠CDE30°,

A、D、G、C四點共圓,

∴∠AGC=∠ADC90°,

∵∠CAB30°,

CGACAGCG,∠BCG30°,

CGBG,即BG CG,

3;

②分三種情況:

當∠BED90°時,如圖3所示:

∵△ABCCDE是兩個含30°的直角三角形,∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE30°,

∴∠ACD=∠BCE,,

∴△ACD∽△BCE,

ADBE,

∴∠ADC=∠BEC90°+CED90°+60°150°,

∵∠CDE30°,

∴∠CDE+ADC180°,

A、D、E共線,

RtABE中,由勾股定理得:AE2+BE2AB2

即(BE+82+BE2102,

解得:BE=﹣2± (負值舍去),

BE=﹣2+;

當∠DBE90°時,如圖4所示:

CFABF,則∠BCF30°,

BFBC,

∵∠ACB=∠DCE90°,∠CAB=∠CDE30°,

BCAB5,CEDE4

CDCE4,

BFBC,

CFBF ,

DF,

ABAD+DF+BF,

AD10,

BE;

當∠BDE90°時,如圖5所示:

BGCDG

則∠BDG=∠BDE﹣∠CDE60°,

∴∠DBG30°,

BD2DGBGDG,

DGx,則CG4x,BGx,

RtBCG中,由勾股定理得:CG2+BG2BC2,

即(4x2+x252,

整理得:4xx+230

∵△=(﹣824×4×230,

∴此方程無解;

綜上所述,當以點B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,BE的長為﹣2+

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