Question

12．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+
∠ADC=180°．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC=3：2，則∠BDF的度數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理求出∠DCO，根據(jù)矩形的性質得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°-36°=54°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CO=OD，
∴∠ODC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：矩形的對角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．