Question

某公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100．

（1）求y與x的函數(shù)解析式；

（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；

（3）求當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】銷售問題．

【分析】（1）根據(jù)日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，可以求得y與x的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，和第一問中求得的y與x的函數(shù)解析式，可以求得該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；

（3）將第（2）問中的函數(shù)解析式化為頂點式，然后根據(jù)二次項系數(shù)和對稱軸和x的取值范圍可以確定當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大，最大利潤是多少元．

【解答】解；（1）由題意可得，設(shè)y與x的函數(shù)解析式是：y=kx+b，

∵當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，

∴，

解得k=﹣2，b=200．

即y與x的函數(shù)解析式是：y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）由題意可得，

w=（x﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x²+260x﹣6000，

即該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式是：w=﹣2x²+260x﹣6000；

（3）∵w=﹣2x²+260x﹣6000

∴w=﹣2（x﹣65）²+2450

∴當x＜65時，y隨x的增大而增大，

∵30≤x≤60，

∴當x=60時，w取得最大值，此時w=﹣2（60﹣65）²+2450=2400（元），

即當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，最大利潤是2400元．

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，可以將二次函數(shù)解析式化為頂點式，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)解答問題．