Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．．

（1）請(qǐng)求出拋物線y=ax2+bx+3的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿AC以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PQ．

①求證：PQ⊥AC；

②過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，連接PE，當(dāng)PQ=PE時(shí)，請(qǐng)求出t的值；

③在y軸上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①見解析；②t的值為；③D（0，1）．

【解析】

(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）①證明△OAC為等腰直角三角形，再證△APQ∽△AOC，得∠APQ=∠AOC=90°，所以PQ⊥AC；②作PF⊥x軸于F，PH⊥EQ于H，求出E（2t﹣3，2t），把E（2t﹣3，2t）代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣（2t﹣3）2﹣2（2t﹣3）+3=3，解方程可得；③解：存在．由四邊形AQDP為平行四邊形，得DQ=AP=t，∠DQO=∠PAQ=45°，而OQ=OD=3﹣2t，可得t=（3﹣2t），解得t=1，可得D的坐標(biāo).

（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

即y=ax2+2ax﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①證明：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2﹣2x+3=3，則C（0，3），

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴AC=3，

∵AP=t，AQ=2t，

∴=t， ==t，

∴=，

而∠PAQ=∠OAC，

∴△APQ∽△AOC，

∴∠APQ=∠AOC=90°，

∴PQ⊥AC；

②證明：作PF⊥x軸于F，PH⊥EQ于H，如圖2，則PF=AF=AP=t=t，

當(dāng)Q點(diǎn)OA上，OQ=3﹣2t，則Q（2t﹣3，0），H（2t﹣3，t），

當(dāng)Q點(diǎn)在OB上，OQ=2t﹣3，則Q（2t﹣3，0），H（2t﹣3，t），

∵PE=PQ，

∴EH=QH=t，

∴E（2t﹣3，2t），

把E（2t﹣3，2t）代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣（2t﹣3）2﹣2（2t﹣3）+3=3，解得t1=0（舍去），t2=，

∴t的值為；

③解：存在．

如圖3，∵四邊形AQDP為平行四邊形，

∴DQ=AP=t，∠DQO=∠PAQ=45°，

而OQ=OD=3﹣2t，

∴t=（3﹣2t），解得t=1，

∴D（0，1）．