Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方有一點(diǎn)P（m，n），連接PA后滿足∠PAB＝∠CAB，記△PBC面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在拋物上時(shí)，將直線BC上下平移，平移后的直線y＝x+t與拋物線交于C'，B'兩點(diǎn)（C'在B'的左側(cè)），若以點(diǎn)C'、B'、P為頂點(diǎn)三角形是直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝m+9（m＞﹣2）；（3）t的值為19或32．

【解析】

(1)先確定出點(diǎn)A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
(2)先確定出直線AP的解析式，進(jìn)而用m表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
(3)先確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)∠B'PC'=90°時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出B'C'的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用B'C'=2PE建立方程求解，當(dāng)∠PC'B'=90°時(shí)，先確定出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線C'G的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)C'的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

(1)∵B(3，0)，對(duì)稱軸為直線x=，

∴A(﹣2，0)，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣3)=ax2﹣ax﹣6a，

∵B(3，0)，

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C(0，﹣3)，

把C(0，﹣3)代入y=a(x+2)(x﹣3)，

∴﹣6a=﹣3，

∴a=，

∴拋物線的解析式為；

(2)如圖1，射線AP與y軸的交點(diǎn)記作點(diǎn)C'，

∵∠BAC=∠BAC'，OA=OA，∠AOC=∠AOC'=90°，

∴△AOC≌△AOC'(ASA)，

∴OC'=OC=3，

∴C'(0，3)，

∵A(﹣2，0)，

設(shè)直線AP的解析式為，

∵，

解得：，

∴直線AP的解析式為y=x+3，

∵點(diǎn)P(m，n)在直線AP上，

∴n=m+3，

∵B(3，0)，C(0，﹣3)，

直線BC的解析式為，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F，

∴F(m，m﹣3)，

∴PF=m+3﹣(m﹣3)=m+6，

∴S=S△PBC=OBPF=×3(m+6)=m+9(m＞﹣2)；

(3)由(1)知，拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3①

由(2)知，直線AP的解析式為y=x+3②，

聯(lián)立①②解得，或，

∴P(6，12)，

如圖2，

當(dāng)∠C'PB'=90°時(shí)，取B'C'的中點(diǎn)E，連接PE，

則B'C'=2PE，即：B'C'2=4PE2，

設(shè)B'(x1，y1)，C'(x2，y2)，

∵直線B'C'的解析式為y=x+t③，

聯(lián)立①③化簡(jiǎn)得，x2﹣3x﹣(2t+6)=0，

∴x1+x2=3，x1x2=﹣(2t+6)，

∴點(diǎn)E(，+t)，

B'C'2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=2(x1﹣x2)2=2[(x1+x2)2﹣4x1x2]

=2[9+4(2t+6)]=16t+66，

而PE2=(6﹣)2+(12﹣﹣t)2=t2﹣21t+，

∴16t+66=4(t2﹣21t+)，

∴t=6(此時(shí)，恰好過(guò)點(diǎn)P，舍去)或t=19，

當(dāng)∠P=90°時(shí)，延長(zhǎng)P交BC于H，交x軸于G，

則∠BHG=90°，

∵OB=CO，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，

∴∠PGO=45°，

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，則GQ=PQ=12，

∴OG=OQ+GQ=18，

∴點(diǎn)G(18，0)，

∴直線C'G的解析式為y=﹣x+18④，

聯(lián)立①④解得或

∴C'的坐標(biāo)為(﹣7，25)，

將點(diǎn)C'坐標(biāo)代入y=x+t中，得25=﹣7+t，

∴t=32，

即：滿足條件的t的值為19或32．