Question

【題目】對于二次函數 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在實數 x0，使得當 x=x0，函數 y=x0，則稱x0 為該函數的“不變值”.

（1）當 a=1，b=﹣2 時，求該函數的“不變值”；

（2）對任意實數 b，函數 y 恒有兩個相異的“不變值”，求 a 的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若該圖象上 A、B 兩點的橫坐標是該函數的“不變值”，且 A、B 兩點關于直線 y=kx-2a+3 對稱，求 b 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－

【解析】

（1）先確定二次函數解析式為y=x2-x-3，根據xo是函數y的一個不動點的定義，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可；

（2）根據xo是函數y的一個不動點的定義得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，則根據判別式的意義得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函數，由于對任意實數b，b2-4ab+4a>0成立，則（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用兩點關于直線對稱的兩個結論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直.找到a，b之間的關系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

解：（1）當a=1，b=-2時，二次函數解析式為y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，解得xo=-1或xo=3，所以函數y的不動點為-1和3；

（2）因為y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0，

因為函數y恒有兩個相異的不動點，所以此方程有兩個不相等的實數解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而對任意實數b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.

（3）設A（x1，x1），B（x2，x2），則x1+x2

A，B的中點的坐標為（ ），即M（ ）

A、B兩點關于直線y=kx-2a+3對稱，

又∵A，B在直線y=x上，

∴k=-1，A，B的中點M在直線y=kx-2a+3上.

∴= -2a+3 得：b=2a2-3a

所以當且僅當a= 時，b有最小值－