Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD= ，AB=6．在底邊AB上取點(diǎn)E，在射線(xiàn)DC上取點(diǎn)F，使得∠DEF=120°．
（1）當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段DF的長(zhǎng)度是；
（2）若射線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)是 ．

Answer 1

【答案】
（1）6
（2）2或5
【解析】解：（1.）如圖1，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥DF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DG=3，
∴EG=AD= ，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°= ，
解得GF=3，
∴DF=6；
（2.）如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，則BH=AD=MF= ，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM= = =1，
設(shè)AE=x，則BE=6﹣x，
在Rt△EFM中，EF= = = ，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴ ，
∴EF2=DFBE，即（7﹣x）2+3=7（6﹣x）
解得x=2或5
所以答案是：2或5．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．