Question

如圖，直線y=

1

2

x+2分別交x，y軸于A，C，點P是該直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的一個交點，PB⊥x軸交于點B，且S_△ABP=9．
（1）求證：△AOC∽△ABP；
（2）求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點R與點P在同一反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直線PB的右側(cè)，作RT⊥x軸于點T，當(dāng)△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由一對公共角相等，一對直角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）先求點A、C的坐標(biāo)，根據(jù)點A、C分別在x、y軸上，設(shè)出A（a，0），C（0，c）代入直線的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用線段比求出BP，AB的值從而可求出點P的坐標(biāo)即可；
（3）把P坐標(biāo)代入求出反比例函數(shù)，設(shè)R點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)△BRT與△AOC相似分兩種情況，利用線段比聯(lián)立方程組求出x，y的值，即可確定出R坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=90°，
∴△AOC∽△ABP；
（2）設(shè)A（a，0），C（0，c）由題意得

1 2 a+2=0 c=2

，
解得：

a=-4 c=2

，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x軸，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

，即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P點坐標(biāo)為（2，3）；
（3）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
由題意得

k

2

=3，解得k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

，
設(shè)R點的坐標(biāo)為（x，y），
∵P點坐標(biāo)為（2，3），
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，
當(dāng)△BTR∽△AOC時，
∴

AO

OC

=

BT

RT

，即

4

2

=

x-2

y

，
則有

y= 6 x 2y=x-2

，解得：

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
此時R的坐標(biāo)為（

13

+1，

13 -1

2

）；
當(dāng)△BRT∽△COA時，
∴

AO

OC

=

RT

BT

，即

4

2

=

y

x-2

，
解得：x₁=3，x₂=-1（不符合題意應(yīng)舍去），
此時R坐標(biāo)為（3，2），
綜上，R的坐標(biāo)為（

13

+1，

13 -1

2

）或（3，2）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．