Question

【題目】如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C，設(shè)AB=4，DC=1，BC=4．

（1）求線段AD的長．
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過D作DE⊥AB于E點(diǎn)，

AE=4﹣1=3，DE=BC=4，

在Rt△AED中，AD= =5；

（2）解：如圖2，

當(dāng)AP=AD時，

在Rt△ABP中，BP= =3；

如圖3，

當(dāng)PA=PD時，

AB2+BP2=CD2+（BC﹣BP）2，即42+BP2=12+（4﹣BP）2，

解得BP= ．

綜上所述，線段BP的長是3或 ．

【解析】（1）根據(jù)已知可知四邊形ABCD是梯形，要解決梯形的問題通過作高，轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決。因此過D作DE⊥AB于E點(diǎn)，可證得BCDE是矩形，就可求出DE和AE的長，再根據(jù)勾股定理在Rt△AED中求出AD的長。
（2）根據(jù)題意可知，分兩種情況，當(dāng)AP=AD時，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出BP的長；當(dāng)PA=PD時，根據(jù)勾股定理，利用PA2=PD2，建立方程，求解即可。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰三角形的判定和勾股定理的概念，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．