Question

【題目】（Ⅰ）如圖1，在菱形中，已知，，拋物線（）經(jīng)過，，三點(diǎn)．

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；

（2）求拋物線的解析式．

（Ⅱ）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線垂直于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________；

（4）在（3）的條件下，連接、、得，問在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為、、

【解析】

（Ⅰ）（1）過點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是x軸的垂線于H和N，結(jié)合菱形的性質(zhì)和，，即可求出AH，和BH及ON的長(zhǎng)度，B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)即可得出；

（Ⅰ）（2）把，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，即可求得；

（Ⅱ）（3）由題意知AG即為拋物線的對(duì)稱軸，C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接OB，（見詳解圖），OB與AG的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，的最小值即為OB長(zhǎng)度，求出OB的直線解析式，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）（4）由題意可知PE=PF，EF∥BC∥OD，進(jìn)一步可知△PEF是底角為30°，頂角為120°的等腰三角形，設(shè)AG與拋物線交點(diǎn)為Q點(diǎn)（即為頂點(diǎn)），D點(diǎn)為O點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接OB，CD，CQ，BQ，BD，再結(jié)合菱形中∠OCB=120°角，可知點(diǎn)O、點(diǎn)Q和點(diǎn)D即為所求M點(diǎn)。

（Ⅰ）（1）過點(diǎn)B和點(diǎn)C分別是x軸的垂線于H和N，

∵，，結(jié)合菱形的性質(zhì)，

∴，,

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：， ；

（Ⅰ）（2）將O點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，可得：

∴拋物線解析式為：

（Ⅱ）（3）由題意知AG為拋物線的對(duì)稱軸，C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接OB，OB與AG的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，的最小值即為OB長(zhǎng)度，

設(shè)OB直線為，將O點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求得：，

令，y=2，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為：

（Ⅱ）（4）設(shè)AG與拋物線交點(diǎn)為Q點(diǎn)（即為頂點(diǎn)），D點(diǎn)為O點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接OB，CD，CQ，BQ，BD，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴可知PE=PF，EF∥BC∥OD，

∴△PEF是底角為30°，頂角為120°的等腰三角形，

在△COB與△BCD中，OC=CB=BD，∠OCB=∠CBD=120°，

∴△COB≌△BCD∽△PEF

故O點(diǎn)（0，0）和D點(diǎn)即滿足M點(diǎn)要求；

另在△QCB中，∠QCB=∠BOD=30°，QC=QO，

∴△QCB∽△PEF，

故Q點(diǎn)也滿足M點(diǎn)要求，

故M點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、．

故答案為：（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為、、