Question

10．如圖，?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動，兩點均運動到點D停止．
（1）若動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？
（2）在相遇前，是否存在過點M和N的直線將?ABCD的面積平分？若存在，請求出所需時間；若不存在，請說明理由．
（3）若點E在線段BC上，BE=2cm，動點M、N同時出發(fā)且相遇時均停止運動，那么點M運動到第幾秒鐘時，與點A、E、N恰好能組成平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）相遇時，M和N所經(jīng)過的路程正好是矩形的周長，在速度已知的情況下，只需列方程即可解答．
（2）存在，當(dāng)MN經(jīng)過?ABCD的中心O時，過點M和N的直線將?ABCD的面積平分，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AO=CO，推出△AON≌△COM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AN=CM，同理△BOM≌△DON，推出S_{四邊形ABMN}=S_{四邊形CMND}，列方程即可得到結(jié)論；
（3）因為按照N的速度和所走的路程，在相遇時包括相遇前，N一直在AD上運動，當(dāng)點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，其中有兩種情況，即當(dāng)M到C點時以及在BC上時，所以要分情況討論．

解答 解：（1）設(shè)t秒時兩點相遇，∵在?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，
∴CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，
∴?ABCD的周長=24cm，
∴t+2t=24，解得t=8，
∴動點M、N同時出發(fā)，經(jīng)過8秒鐘兩點相遇；

（2）存在，當(dāng)MN經(jīng)過?ABCD的中心O時，過點M和N的直線將?ABCD的面積平分，
如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠OAN=∠OCM，∠ANO=∠CMO，
在△AON與△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAN=∠OCM}\\{∠ANO=∠OMC}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△COM，
∴AN=CM，
同理△BOM≌△DON，
∴S_{四邊形ABMN}=S_{四邊形CMND}，
∵AN=CM，即2t-4=8-t，
∴t=4，
∴當(dāng)經(jīng)過4秒鐘，過點M和N的直線將?ABCD的面積平分；

（3）由（1）知，點N一直在AD上運動，所以當(dāng)點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，所以2≤t≤6，
設(shè)經(jīng)過t秒，四點可組成平行四邊形．分兩種情形：
①當(dāng)M點在E點右側(cè)，
如圖2：此時AN=EM，則四邊形AEMN是平行四邊形，
∵DN=t，CM=2t-4，
∴AN=8-t，EM=8-2-（2t-4），
∴8-t=8-2-（2t-4），
解得t=2，
當(dāng)M點在B點與E點之間，8-t=2t-10，解得t=6，
∴點M運動到第2秒或6秒鐘時，點A、E、M、N組成平行四邊形．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，點的運用會使學(xué)生感覺有一定的困難，但仔細(xì)分析后會發(fā)現(xiàn)考查的還是一些基本性質(zhì)的運用．