Question

【題目】在等邊△ABC的外側(cè)作直線(xiàn)BM，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連結(jié)AD，CD，設(shè)CD交直線(xiàn)BM于點(diǎn)E．

（1）依題意補(bǔ)全圖1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度數(shù)；
（2）如圖2，若60°＜∠ABM＜90°，判斷直線(xiàn)BM和CD相交所成的銳角的度數(shù)是否為定值？若是，求出這個(gè)銳角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：補(bǔ)全的圖1如下所示：

連接BD，如上圖1所示，

∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等邊三角形，

∴△BDA是等邊三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，

∴四邊形ADBC是菱形，

∵∠ACB=60°，

∴∠BCE=30°；

（2）解：直線(xiàn)BM和CD相交所成的銳角的度數(shù)是定值，如下圖所示，

連接AE交BC于點(diǎn)F，

由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，

則∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，

∴∠BCD=∠EAB，

∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，

∴∠CEA=∠ABC=60°，

∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，

∴∠DEM=60°，

即直線(xiàn)BM和CD相交所成的銳角的度數(shù)是定值，這個(gè)銳角的度數(shù)是60°．

【解析】（1）連接BD，由作圖知:BM垂直平分AD根據(jù)中垂線(xiàn)定理及等腰三角形的三線(xiàn)合一得出△BDA是等邊三角形，由△ABC是等邊三角形，故AD∥BC且AD=BC，DA=DB，從而判斷出四邊形ADBC是菱形，根據(jù)菱形的每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角得出答案；
（2）直線(xiàn)BM和CD相交所成的銳角的度數(shù)是定值，連接AE交BC于點(diǎn)F，根據(jù)等邊對(duì)等角及等量代換得出∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，從而得出∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，根據(jù)等量代換得出∠BCD=∠EAB，又由∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，∠CEA=∠ABC=60°，從而得出∠DEM=60°，即直線(xiàn)BM和CD相交所成的銳角的度數(shù)是定值，這個(gè)銳角的度數(shù)是60°．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的角的運(yùn)算和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，需要了解角之間可以進(jìn)行加減運(yùn)算；一個(gè)角可以用其他角的和或差來(lái)表示；垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等才能得出正確答案．