Question

【題目】已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，以為圓心，5為半徑的圓與相交于、兩點(diǎn)，連結(jié)、．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理得出EG=FG，然后由O為AB的中點(diǎn)，OG∥AC可推出OG為△ABC的中位線(xiàn)，從而可求出OG的長(zhǎng)，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的長(zhǎng)，從而可得出EF的長(zhǎng)；

（2）首先由直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得出CO=BO，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG中，求出sin∠OCG的值即可得出結(jié)果．

解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF于點(diǎn)G，

∴EG=FG，OG∥AC，

又O為AB的中點(diǎn)，∴G為BC的中點(diǎn)，即OG為△ABC的中位線(xiàn)，

∴OG=AC=4，

在Rt△OEG中，由勾股定理得，EG=，

∴EF=2EG=6；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，

又O為AB的中點(diǎn)，

∴CO=BO=4，又OG⊥BC，

∴CG=BG=BC=8，

∴CE=CG-EG=8-3=5，

∴CE=EO，

∴∠COE=∠OCE，

∴sin∠OCE=．

∴∠COE的正弦值為．