Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE．

（1）求證：△BOE≌△DOF；

（2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】矩形.

【解析】試題分析：（1）由DF與BE平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由O為AC的中點(diǎn)，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證；

（2）若OD=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用對(duì)角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證．

試題解析：（1）∵DF∥BE，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

∵O為AC的中點(diǎn)，

∴OA=OC，

∵AE=CF，

∴OA-AE=OC-CF，

即OE=OF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）若OD=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：

證明：∵△BOE≌△DOF，

∴OB=OD，

∵OD=AC，

∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，

∴四邊形ABCD為矩形．