Question

【題目】如圖，矩形的一邊落在矩形的一邊上，并且矩形，其相似比為，連接、．

試探究、的位置關系，并說明理由；

將矩形繞著點按順時針（或逆時針）旋轉任意角度，得到圖形、圖形，請你通過觀察、分析、判斷中得到的結論是否能成立，并選取圖證明你的判斷；

在中，矩形繞著點旋轉過程中，連接、、，且，，，的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ，理由詳見解析；（2）仍然成立，理由詳見解析；（3）的面積是否存在最大值與最小值，，．

【解析】

（1）由矩形CEFG～矩形CDAB可以得出∠BCD=∠DCE=90°，，從而可以得到△BCG∽△DCE，再利用角相等通過代換就可以得出結論；

（2）由條件可以得出證明△BCG∽△DCE，再利用角相等通過代換就可以得出結論；

（3）矩形CEFG繞著點C旋轉一周，點F的軌跡是以點C為圓心以為半徑的圓，所以△BDF的BD邊上的高就是點F到BD的距離，也就是BD到圓上的點的距離，有最大值和最小值，最大值為點C到BD的距離與圓的半徑的和，最小值為點C到BD的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可．

（1），理由如下：

如圖，∵矩形矩形，

∴，，

∴，

∴．

延長交于．

又∵，

∴，

∴；

（2）仍然成立，理由如下：

如圖，∵矩形矩形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）的面積是否存在最大值與最小值．理由如下：

∵矩形，其相似比，，

∴，

∴點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓．

設點到的距離為，

∴，

解得，

∴當點到的距離為時，的面積有最大值，

當點到的距離為時，的面積有最小值，

，

．