Question

【題目】已知，拋物線ymx22mx3m(m＞0)，與x軸交于A、B兩點(A在B的左邊)，與y軸交于C點．M為拋物線的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)m=1時，拋物線BM段有點P(不與M重合)，使得SPBCSMBC．求P點的坐標(biāo)．

（3）當(dāng)m=1時，拋物線上有點N，使得∠NCA=2∠BCA．求N點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(－1，0)，B(3，0)；（2）P(2，－3)；（3）．

【解析】

（1）令y=0，代入ymx22mx3m(m＞0)，即可得到答案；

（2）先求出B，M，C的坐標(biāo)，由SPBCSMBC，得MP∥BC，用待定系數(shù)法，求出直線BC的解析式和直線MP的解析式，結(jié)合yx22x3，聯(lián)立得到方程組，進(jìn)而即可得到答案；

（3）作點A關(guān)于BC的對稱點H，連接BH，CH，設(shè)CH交拋物線于點N，此時，∠NCA=2∠BCA，求出A，B，C的坐標(biāo)，易得∠ABH=90°，AB=HB=4，從而得點H的坐標(biāo)，進(jìn)而得直線CH的函數(shù)解析式，結(jié)合yx22x3，聯(lián)立得到方程組，進(jìn)而即可得到答案．

（1）令y=0，代入ymx22mx3m(m＞0)，得：mx22mx3m=0，解得：，

∵拋物線ymx22mx3m(m＞0)，與x軸交于A、B兩點(A在B的左邊)，

∴A(－1，0)，B(3，0)；

（2）∵當(dāng)m=1時，拋物線yx22x3，

∴B(3，0)，M(1，-4)，C(0，-3)，

∵SPBCSMBC，

∴點M到BC的距離與點P到BC的距離相等，即MP∥BC，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B(3，0)， C(0，-3)代入上式得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y=x-3，

設(shè)直線MP的解析式為：y=x+m，

把M(1，-4)代入上式，得-4=1+m，解得：m=-5，

∴直線MP的解析式為：y=x-5，

又∵點P在拋物線BM段，

∴聯(lián)立，解得：，

∴P(2，－3)；

（3）作點A關(guān)于BC的對稱點H，連接BH，CH，設(shè)CH交拋物線于點N，此時，∠NCA=2∠BCA，

∵當(dāng)m=1時，拋物線yx22x3，

∴A(-1，0)，B(3，0)， C(0，-3)，

∴OB=OC=3，

∴∠ABC=∠HBC=45°，

∴∠ABH=90°，

∵AB=HB=4，

∴H(3，-4)，

設(shè)直線CH的解析式為：y=kx+b，

把C(0，-3)，H(3，-4)代入上式得：，解得：，

∴直線CH的解析式為：y=x-3，

聯(lián)立，解得：，

∴．