Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P點的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C兩點的坐標(biāo)代入解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）已知要使四邊形POP′C是菱形，則P點一定在OC的垂直平分線上，就可根據(jù)C點的坐標(biāo)知道OC的長度，從而得到P點的縱坐標(biāo)，已知P點的縱坐標(biāo)就將其代入解析式中即可求得P點坐標(biāo).
（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P點坐標(biāo)為，可求出BC的解析式從而表示出Q點的解析式，根據(jù)可用含有x的式子表示出四邊形ABPC的面積，最后根據(jù)式子分析最大值即為四邊形ABCP面積的最大值，此時求出的x即為P點的橫坐標(biāo)，再代入解析式即可求出P點的坐標(biāo)即可.

解：（1）將B、C兩點的坐標(biāo)代入得：，

解得：；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：.

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；

設(shè)P點坐標(biāo)為，PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有；

連接PP′，則于E，

∵C，

∴，

又∵，

∴,

∴；

∴，

解得，（不合題意，舍去），

∴P點的坐標(biāo)為.

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P點坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為，

則Q點的坐標(biāo)為；

當(dāng)，

解得：，，

∴，，

，

＝

＝

＝

當(dāng)時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為．