Question

【題目】已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)O和點(diǎn)P是這個三角形內(nèi)部兩點(diǎn)．
（1）如圖①，如果點(diǎn)P是這個三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，那么∠BPC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）如圖②，如果點(diǎn)O是這個三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，那么∠BOC和∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）如圖③，如果點(diǎn)P（三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），點(diǎn)O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）同時在不等邊△ABC的內(nèi)部，那么∠BPC和∠BOC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接回答．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=90°+∠BAC，理由見解析；（2）∠BOC=2∠BAC
，理由見解析；（3）4∠BPC-∠BOC=360°，理由見解析；

【解析】

（1）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)即可；
（2）根據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)即可；
（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論∠BPC=90°+∠BAC、∠BOC=2∠BAC，通過等量代換即可．

解：（1）∠BPC=90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC；
（2）∠BOC=2∠BAC
如圖，連接AO．

∵點(diǎn)O是這個三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC），
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
（3）4∠BPC-∠BOC=360°，
∵點(diǎn)P為三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，
∴∠BPC=90°+∠BAC
由∠BAC=2∠BPC-180°
點(diǎn)O為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，
即4∠BPC-∠BOC=360°．