Question

【題目】定義:如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的兩倍，則稱這樣的三角形為“倍角三角形”．

（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠A為36°，求證：△ABC 是銳角三角形；

（2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面積；

（3）如圖2，△ABC的外角平分線AD與CB的延長線相交于點D，延長CA到點E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，請你找出圖中的倍角三角形，并進行證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）△ADC是倍角三角形，證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意證明△ABC是等腰三角形，得出三個內角的度數(shù)，得證△ABC 是銳角三角形

（2）分兩種情況討論，①當∠B=2∠C②當∠A=2∠B或∠A=2∠C時，求出△ABC面積

（3）證明△ABD≌△AED，從而證明CE=DE，∠C=∠BDE=2∠ADC，△ADC是倍角三角形

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°

∴∠B=∠C=72°

∴∠A=2∠C

即△ABC是銳角三角形

（2）∵∠A>∠B>∠C，∠B=30°

①當∠B=2∠C,得∠C=15°

過C作CH⊥直線AB，垂足為H，

可得∠CAH=45°

∴AH=CH=AC=4．

∴BH=

∴AB=BH-AH=-4

∴S=

②當∠A=2∠B或∠A=2∠C時，與∠A>∠B>∠C矛盾，故不存在。

綜上所述，△ABC面積為

（3）∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD

∵AB=AE，AD=AD，

∴△ABD≌△AED．

∴∠ADE=∠ADB，BD=DE．

又∵AB+AC=BD，

∴AE+AC=BD，即CE=BD．

∴CE=DE．

∴∠C=∠BDE=2∠ADC．

∴△ADC是倍角三角形．