Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置．將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為B1 ， 頂點(diǎn)為D1 ． 點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

∴OB=2，

∵tan∠OAB=2，即 =2．

∴OA=1．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

又∵二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象過點(diǎn)A，

∴0=12+m+2．

解得m=﹣3，

∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x+2

（2）解：作CE⊥x軸于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，

可得CE=OA=1，AE=OB=2，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）．

由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，

設(shè)出解析式為y=x2﹣3x+c，代入C點(diǎn)作標(biāo)得1=9﹣9+c，c=1，

所求二次函數(shù)解析式為y=x2﹣3x+1．

（3）解：由（2），經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位后所得的圖象，

那么對(duì)稱軸直線x= 不變，且BB1=DD1=1．

∵點(diǎn)P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣3x+1）．

在△PBB1和△PDD1中，∵S△PBB1=2S△PDD1，

∴邊BB1上的高是邊DD1上的高的2倍．

①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，x=2（x﹣ ），得x=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；

②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，x=2（ ﹣x），得x=1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣1）；

③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，x＜0，又﹣x=2（ ﹣x），

得x=3＞0（舍去），

∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（1，﹣1）

【解析】（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再根據(jù)tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A代入解析式即可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可輕松求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)作標(biāo)即可求解；（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論．