Question

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF、則EF=BE+DF，試說明理由；

（2）類比引申

如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系　　　　　　時，仍有EF=BE+DF；

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．

　

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．

【解答】解：（1）理由是：如圖1，

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

則∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

 

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中，

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案為：∠B+∠ADC=180°；

 

（3）BD²+CE²=DE²．

理由是：把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，

則∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

則在△ADF和△ADE中，

，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，

∴∠BDF=90°，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD²+BF²=DF²，

∴BD²+CE²=DE²．

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強，有一定的難度．