Question

【題目】用兩個全等的等邊△ＡＢＣ和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個菱形重合，使三角尺有兩邊分別在AB、AC上，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1，當(dāng)三角尺的兩邊與BC、CD分別相交于點(diǎn)E、F時，觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論。

(2)如圖2，當(dāng)三角尺的兩邊與BC、CD的延長線分別交于E、F時，你在（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）BE=CF;（2）結(jié)論仍成立

【解析】試題分析：（1）利用公共角和菱形的性質(zhì)得到邊和角相等，利用ASA證明△ABE△ACF,BE=CF. (2) 根據(jù)（1）的證明方法，證明△ACE和△ADF全等, BE=CF.

試題解析：

解：（1）BE=CF,
證明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF,
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE△ACF（ASA）．
∴BE=CF,
（2）BE=CF仍然成立．
證明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，

∴∠ACE=120°，

∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，
,
∴△ACE△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF.