Question

【題目】（12分）閱讀理解：

如圖①，如果四邊形ABCD滿(mǎn)足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”．

將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示形狀，再展開(kāi)得到圖③，其中CE，CF為折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，點(diǎn)B′為點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接EB′，FD′相交于點(diǎn)O．

簡(jiǎn)單應(yīng)用：

（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是 ；

（2）當(dāng)圖③中的∠BCD=120°時(shí)，∠AEB′= °；

（3）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有 個(gè)（包含四邊形ABCD）．

拓展提升：

（4）當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時(shí)，連接AB′，請(qǐng)?zhí)角?/span>∠AB′E的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．

【解析】試題（1）結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和“完美箏形”的定義可以得出結(jié)論；

（2）先證∠AEB′=∠BCB′，再算出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出結(jié)果；

（3）由折疊的性質(zhì)得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”，由題意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性質(zhì)得出AE=AF，CE=CF，再證明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，證出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；即可得出結(jié)論；

（4）當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形，證明A、E、B′、F四點(diǎn)共圓，得到，由圓周角定理即可得到∠AB′E的度數(shù)．

試題解析：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四邊形不一定為“完美箏形”；

②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定為“完美箏形”；

③∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定為“完美箏形”；

④∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定為“完美箏形”；

∴在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是正方形；故答案為：正方形；

（2）根據(jù)題意得：∠B′=∠B=90°，∴在四邊形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案為：80；

（3）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)；理由如下；

根據(jù)題意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”；

∵四邊形ABCD是“完美箏形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四邊形AECF為菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；

∴包含四邊形ABCD，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)；故答案為：5；

（4）當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時(shí)，如圖所示：四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四點(diǎn)共圓，∵AE=AF，∴，∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．