Question

【題目】已知：如圖.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.點P由B出發(fā)，沿BC方向勻速運動.速度為1cm/s.同時，點Q從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動.速度為1cm/s，過點P作PMBC交AB于點M，過點Q作QNBC，垂足為點N，連接MQ，若設運動時間為t(s)(0<t<3)，解答下列問題：

（1）當t為何值時，點M是邊AB中點?

（2）設四邊形PNQM的面積為y(cm2)，求出y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；

（4）是否存在某一時刻t，使四邊形PNQM為正方形?若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當t為s時，點M是AB中點；

（2）y與t的函數關系式是y

（3）t的值為s；

（4）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）求出BD＝3，根據，即可求出時間t；
（2）先判斷出△MBP∽△ABD，進而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面積公式進行計算即可得出結論；
（3）根據（2）中所求，結合面積之間的關系建立方程即可得出結論；
（4）假設存在，先利用PM＝QN求出t，進而求出PM，PN，判斷出PM≠PN即可得出結論．

解：（1）過點A作AD⊥BC于點D，

∵PM⊥BC，

∴PM∥AD，

∴，

∵點M是AB中點

∴，

∴，

∵AB = AC，

∴，

∵BP=t，

∴，解得：，

即當t為s時，點M是AB中點；

（2）過點A作AD⊥BC于點D，

∵PM∥AD，

∴△MBP∽△ABD，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理，△QCN∽△ACD，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴y =S四邊形PNQM=，

即y與t的函數關系式是y；

（3）若S四邊形PNQM ：S△ABC＝4：9，則y=S△ABC，

∵S△ABC=，

∴，

解得，（不合題意，舍去），

∴t的值為s；

（3）若四邊形PNQM為正方形，則需滿足PM = QN，PM = PN，

當PM = QN時，，

解得：，

當時，PM =，PN=，

∴PM≠PN，

∴不存在．