Question

有n盞燈排成一排，依次標(biāo)號1，2，…，n，每盞燈都有一根拉線開關(guān)，最初電燈都是關(guān)著的．現(xiàn)有n個(gè)人，都沿著電燈路線走過，第一個(gè)人走過時(shí)，把凡是號碼是1的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；接著第二個(gè)人走過時(shí)，把凡是號碼是2的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；第三個(gè)走過時(shí)，把凡是號碼是3的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下；…；最后，第n個(gè)人走過時(shí)，把最后那盞燈的開關(guān)拉一下．
（1）填空：

n	最后第n個(gè)人走過后，哪些亮著燈的號碼
10
20

（2）猜想n=100時(shí)，最后第100個(gè)人走過后，哪些亮著燈的號碼．說明你猜想的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個(gè)不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，即可得出答案；
（2）若（a₁，a₂）=1，則稱a₁與a₂互質(zhì)．若（a₁，a_k）=1，則稱a₁，a_k互質(zhì)，值得注意的是居個(gè)數(shù)互質(zhì)，不一定兩兩互質(zhì)，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，
本題的一個(gè)重要條件是最初時(shí)燈都是關(guān)著的，然后對每個(gè)編號分解質(zhì)因數(shù)．
解答：解：（1）由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個(gè)不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，n=10時(shí)，只有編號為1，4，9亮著，
由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個(gè)不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，n=20時(shí)，只有編號為1，4，9，16亮著；

（2）由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線開關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數(shù)字有多少個(gè)不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)．所以，只有編號為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的電燈最后是亮著的．
點(diǎn)評：此題主要考查了數(shù)的奇偶性，得出最后亮著的燈的編號只有為完全平方數(shù)，從而解決問題．