Question

【題目】（本題3+3+4+4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，

（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接AE

①判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由；

②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（4，）；（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．理由如見解析②線段BM的長(zhǎng)為或．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)AB坐標(biāo)分別代入解析式，然后解方程組即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，解一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，因此分兩種情況討論．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，）分別代入得：，解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)∠BDA=∠DAC時(shí)， BD∥x軸，因?yàn)?/span>點(diǎn)B（1，），令y= ，所以，解得，所以D（4，）；（3）①四邊形OAEB為平行四邊形．拋物線的對(duì)稱軸是，所以BE=,因?yàn)?/span>點(diǎn)A（，0），所以O(shè)A=BE= ,又BE//OA,所以四邊形OAEB為平行四邊形；②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論：∵O（0，0），B（1，），F(xiàn)為OB的中點(diǎn)，∴F（，）。

過(guò)點(diǎn)F作FN⊥直線BD于點(diǎn)N，則FN=﹣=，BN=1﹣=。

在Rt△BNF中，由勾股定理得：。

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。

（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)．

在直線BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF。

又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。

∴，即。

∴BM=。

（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，

∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=。

∴BM=MK+BK=+1=。

綜上所述，線段BM的長(zhǎng)為或。