Question

若a，b，c，d為非負整數(shù)．且（a²+b²）（c²+d²）=1993．則a+b+c+d=

56

．

Answer 1

分析：根據（a²+b²）（c²+d²）=1993，得a²+b²與c²+d²都是正整數(shù)，不妨設a²+b²=1，c²+d²=1993，則c，d中至少有一個大于31，設c為c，d中較大的一個，則32≤c≤44．依次取c=44，43，42，41，，33，32，則得出a+b+c+d=1+55=56．

解答：解：因為1993是質數(shù)，a²+b²與c²+d²都是正整數(shù)，所以a²+b²與c²+d²分別取值1與1993；
不妨設a²+b²=1，c²+d²=1993．
（1）a²+b²=1、推知a=0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1
（2）c²+d²=1993、
若c≤31，d≤31，則c²+d²≤2×31²=2×961=1922＜1993、所以c，d中至少有一個大于31
又由于44²=1936＜1993，
故設c為c，d中較大的一個，則32≤c≤44．
我們試算如下：

其中1933-c²的結果中，只有144=12²為完全平方數(shù)，
即43²+12²=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43
因此，c+d=55．
所以a+b+c+d=1+55=56．

點評：本題是一道競賽題，考查了完全平方數(shù)，難度較大．