Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于A點，交y軸于B點，點C是線段AB的中點，連接OC，然后將直線OC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)30°交x軸于點D，再過D點作直線DC₁∥OC，交AB與點C₁，然后過C₁點繼續(xù)作直線D₁C₁∥OC，交x軸于點D₁，并不斷重復(fù)以上步驟，記△OCD的面積為S₁，△DC₁D₁的面積為S₂，依此類推，后面的三角形面積分別是S₃，S₄…，那么S₁=　　，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n，當n無限大時，S的值無限接近于　　．

Answer 1

【考點】一次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】根據(jù)直線AB的解析式，易得OB=，OA=3，即∠OBA=60°，而C是Rt△OAB的中點，那么易得△OCB是等邊三角形，則∠COD=30°，OC=；

（1）首先求△OCD的面積，已知∠DCO=∠DOC=30°，那么△OCD是等腰三角形，過D作OC的垂線設(shè)垂足為E，易得OE的長，通過解直角三角形可求得DE的值，從而根據(jù)三角形的面積公式得到△OCD的面積；

（2）求S的值，需要從整體出發(fā)；過O作OC₀∥DC，那么OC₀⊥AB，易可求出△OC₀B、△OCC₀的值，通過觀察，△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都是相似三角形，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都是相似三角形，因此上述兩種相似三角形的面積和將△OC0A的面積分為兩部分，且它們的比為△OC₀C與△ODC的面積比，可據(jù)此求出S的值．

【解答】解：過O作OC₀⊥AB于C0，過D作DE⊥OC于E；

由直線AC的解析式可知：

當y=0時，x=3，則OA=3；

當x=0時，y=，則OB=；

故∠OBA=60°，∠OAB=30°；

由于C是Rt△AOB斜邊AB的中點，

所以O(shè)C=CB，則△OBC是等邊三角形；

∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；

∴OE=CE=；

（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，

則DE=，S_△OCD=OC•DE=；

（2）易知：S_△AOB=OA•OB=，S_△BOC=S_△AOB=，S_△OBC0=S_△OCC0=S_△OBC=；

∴S_△OC0A=S_△OAB﹣S_△OBC0=﹣=；

由題意易得：△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…都相似，△ODC、△OD₁C₁、△D₁C₂D₂…也都相似；

設(shè)△OC₀C、△DCC₁、△D₁C₁D₂…的面積和為S′，則：

S′：S=S_△OC0C：S_△OCD=： =3：2，

∴S=S_△OC0A=×=；

故答案為：，．

【點評】此題主要考查了圖形面積的求法，涉及到一次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)等知識，注意此題中整體思想的運用．