Question

【題目】如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為 ．

Answer 1

【答案】9

【解析】

試題分析：

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小．根據(jù)四邊形PMON的面積=△OMN的面積+△PMN的面積即可．

試題解析：

解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，

連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，

∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，

∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD=OC=OD=6cm．

∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=6cm．

∴S△OCD=

在等邊三角形OCD中，S△OMN=S△OCD=

S△PMN=S△PCD=

∴S四邊形PMON= S△OMN+ S△PMN=+=9．