Question

3、對(duì)任意的自然數(shù)n，證明A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ能被1897整除．

Answer 1

分析：由1897=7×271，7與271互質(zhì)，得出2903≡5（mod7），803≡5（mod7），464≡2（mod7），261≡2（mod7），從而求出
A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ=0（mod7），進(jìn)而得出A=2903 ⁿ-803 ⁿ-464 ⁿ+261 ⁿ=0（mod271），命題的證．

解答：證明：1897=7×271，7與271互質(zhì)．
因?yàn)?903≡5（mod7），
803≡5（mod7），
464≡2（mod7），
261≡2（mod7），
所以
A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ
≡5n-5n-2n+2n=0（mod7），
故7|A．又因?yàn)?BR>2903≡193（mod271），
803≡261（mod271），
464≡193（mod271），
所以
A=2903 ⁿ-803 ⁿ-464 ⁿ+261 ⁿ，
≡193 ⁿ-261 ⁿ-193 ⁿ+261 ⁿ，
=0（mod271），
故271|A．因（7，271）=1，
所以1897整除A．
即A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ能被1897整除．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了同余問題的性質(zhì)，分別得出7與271整除A=2903ⁿ-803ⁿ-464ⁿ+261ⁿ，是解決問題的關(guān)鍵．