Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,點(diǎn)B,過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連結(jié)AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從O,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥OA,交CA于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t(單位:秒)

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計(jì)算過程;

(3)當(dāng)0＜t＜時(shí),△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;

(4)當(dāng)t為何值時(shí),△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程．

Answer 1

解：（1），令得，

∴或∴；

在中，令得即；

由于BC∥OA，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為－10，由得或

即且易求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為

于是，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為。

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；

（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒，則，，說明P在線段OA上，且不與點(diǎn)OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

∴∴

又點(diǎn)Q到直線PF的距離，∴，

于是△PQF的面積總為90。

（4）由上知，，。構(gòu)造直角三角形后易得

①     若FP=PQ，即，故，

∵∴∴…

②     若QP=QF，即，無的滿足條件；

③     若PQ=PF，即，得，∴或都不滿足，故無的滿足方程；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，△PQR是等腰三角形。