Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點和半徑為1的，定義如下：

①點的“派生點”為；

②若上存在兩個點，使得，則稱點為的“伴侶點”．

應(yīng)用：已知點

（1）點的派生點坐標為________；在點中，的“伴侶點”是________；

（2）過點作直線交軸正半軸于點，使，若直線上的點是的“伴侶點”，求的取值范圍；

（3）點的派生點在直線，求點與上任意一點距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（1,0），E、D、；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)定義即可得到點的坐標，過點E作的切線EM，連接OM，利用三角函數(shù)求出∠MEO=30°，即可得到點E是的“伴侶點”；根據(jù)點F、D、的坐標得到線段長度與線段OE比較即可判定是否是的“伴侶點”；

（2）根據(jù)題意求出，∠OGF=60°，由點是的“伴侶點”，過點P作的切線PA、PB，連接OP，OB，證明△OPG是等邊三角形，得到點P應(yīng)在線段PG上，過點P作PH⊥x軸于H，求出點P的橫坐標是-，由此即可得到點P的橫坐標m的取值范圍；

（3）設(shè)點(x，-2x+6)，P（m，n），根據(jù)派生點的定義得到3m+n=6，由此得到點P在直線y=-3x+6上，設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點O作OH⊥AB于H，交于點C，求出AB的長，再根據(jù)面積公式求出OH即可得到答案.

（1）∵，

∴點的派生點坐標為（1,0），

∵E(0，-2)，

∴OE=2，

過點E作的切線EM，連接OM，

∵OM=1，OE=2，∠OME=90°，

∴sin∠MEO=,

∴∠MEO=30°，

而在的左側(cè)也有一個切點，使得組成的角等于30°，

∴點E是的“伴侶點”；

∵，

∴OF=>OE，

∴點F不可能是的“伴侶點”；

∵，（1,0），，，

∴點D、是的“伴侶點”，

∴的“伴侶點”有：E、D、，

故答案為：（1,0），E、D、；

（2）如圖，直線l交y軸于點G，

∵，

∴，∠OGF=60°

∵直線上的點是的“伴侶點”，

∴過點P作的切線PA、PB，且∠APB=60°，

連接OP，OB，

∴∠BOP=30°，

∵∠OBP=90°，OB=1，

∴OP=2=OG，

∴△OPG是等邊三角形，

∴若點P是的“伴侶點”，則點P應(yīng)在線段PG上，

過點P作PH⊥x軸于H，

∵∠POH=90°-60°=30°，OP=2，

∴PH=1，

∴OH=，即點P的橫坐標是-，

∴當直線上的點是的“伴侶點”時的取值范圍是；

（3）設(shè)點(x，-2x+6)，P（m，n），

根據(jù)題意得：m+n=x，m-n=-2x+6，

∴3m+n=6，

即n=-3m+6，

∴點P坐標為（m，-3m+6），

∴點P在直線y=-3x+6上，

設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點O作OH⊥AB于H，交于點C，如圖，則A（2,0），B（0,6），

∴,

∴,

∴,

∴,

即點P與上任意一點距離的最小值為.