14.如圖,點A(0,2),B(4,0)兩點的坐標,將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊(點C在x軸上,點D在AB上,點D不與A,B重合),如圖,使點E落在x軸上.設點C的坐標為(x,0),△CDE與△ABO重疊部分的面積為S.
(1)試求出S與x之間的函數(shù)關系式(包括自變量x的取值范圍);
(2)當x為何值時,S的面積最大?最大值是多少?
(3)是否存在這樣的點C,使得△ADE為直角三角形?若存在,直接寫出點C的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)OB=4,C點的位置應分兩種情況進行討論,當C在OB的中點或在中點與B之間時,重合部分是△CDE;當C在OB的中點與O之間時,重合部分是梯形,就可以得到函數(shù)解析式.
(2)求出S與x之間的函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質就可以得到面積的最值.
(3)分△ADE以點A為直角頂點和△ADE以點E為直角頂點,兩種情況進行討論.根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等,求出OE的長,就可以得到C點的坐標.

解答 解:(1)①點E在原點和x軸正半軸上時,重疊部分是△CDE.
則S△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$(4-x)(-$\frac{1}{2}$x+2)
=$\frac{1}{4}$x2-2x+4;
當E與O重合時,CE=$\frac{1}{2}$BO=2,則2≤x<4;
②當E在x軸的負半軸上時,設DE與y軸交于點F,則重疊部分為梯形.
∵△OFE∽△OAB
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$,
∴OF=$\frac{1}{2}$OE.
又∵OE=4-2x,
∴OF=$\frac{1}{2}$(4-2x)=2-x,
∴S四邊形CDFO=$\frac{x}{2}$×[2-x+(-$\frac{1}{2}$x+2)],
=-$\frac{3}{4}$x2+2x.
當點C與點O重合時,點C的坐標為(0,0)
∴0<x<2.
綜合①②得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+4(2≤x<4)}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+2x(0<x<2)}\end{array}\right.$;

(2)①當2≤x<4時,S=$\frac{1}{4}$x2-2x+4=$\frac{1}{4}$(x-4)2
∴對稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上,
∴在2≤x<4中,S隨x的增大而減小
∴當x=2時,S最大值=$\frac{1}{4}$×(2-4)2=1;
②當0<x<2時,S=-$\frac{3}{4}$x2+2x=-$\frac{3}{4}$(x-$\frac{4}{3}$)2+$\frac{4}{3}$,
∴對稱軸是直線x=$\frac{4}{3}$,
∵拋物線開口向下,
∴當x=$\frac{4}{3}$時,S有最大值為$\frac{4}{3}$.
綜合①②當x=$\frac{4}{3}$時,S有最大值為$\frac{4}{3}$;

(3)存在,點C的坐標為($\frac{3}{2}$,0)和($\frac{5}{2}$,0).
附:詳解:①當△ADE以點A為直角頂點時,作AE⊥AB交x軸負半軸于點E,
∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$.
∵AO=2,
∴EO=1,
∴點E坐標為(-1,0),
∴點C的坐標為($\frac{3}{2}$,0);
②當△ADE以點E為直角頂點時,
同樣有△AOE∽△BOA,則$\frac{OE}{AO}$=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{1}{2}$,
∴EO=1,
∴E(1,0),
∴點C的坐標($\frac{5}{2}$,0),
綜合①②知滿足條件的坐標有($\frac{3}{2}$,0)和($\frac{5}{2}$,0).

點評 此題綜合考查了相似綜合題.其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)最值的求法、相似三角形的判定與性質以及多邊形面積的求法等知識點.此題難度較大,注意掌握函數(shù)思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用.

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