Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為，點A在x軸負半軸上，點B在坐標(biāo)原點．點D的坐標(biāo)為（- ，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

 

Answer 1

【答案】

（1）y=－x²＋3（2）①存在，t=1②

【解析】解：（1）由題意得AB的中點坐標(biāo)為（－3 ，0），CD的中點坐標(biāo)為（0，3），

  分別代入y=ax²+b，得，解得， 。

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=－x²＋3。                                    

（2）①存在。如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°�！郋C=BC=，DE=。 

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角。

（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。

在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F(xiàn)（t，－t²+3），∴EF=3－（－t²＋3）=t²�！鄑²=1。

∵t＞0，∴t=1 。                                   

此時，∴。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。                                 

（II）若∠DFA=90°，可證得△DEF∽△FBA，則。

設(shè)EF=m，則FB=3－m。

∴ ，即m²－3m＋6=0，此方程無實數(shù)根。∴此時t不存在。 

（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此時t不存在。 

綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似。

②

（1）根據(jù)已知條件求出AB和CD的中點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求該二次函數(shù)的解析式。

（2）①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：

（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值。

（II）若∠ADF=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求得相應(yīng)的t的值。

（III）∠DAF≠90°，此時t不存在。

②畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出t的取值范圍：

如圖3所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N。

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F（t，3－t²），∴EF=3－（3－t²）=t²�！郋E′=2EF=2t²。

由EE′≤BE，得2t²≤3，解得。

又∵C′E′=CE= ，∴C′點的橫坐標(biāo)為t－�！郙N=3－（t－）²，

又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t²，

∴由MN≥C′N，得3－（t－ ）²≥3－2t²，即t²＋2t－3≥0。

求出t²＋2t－3=0，得，∴t²＋2t－3≥0即。

∵，∴，解得t≥。

∴t的取值范圍為：